1.3 기울기와 절편 · Ⅳ-1. 일차함수와 그 그래프

HOOK · 시작 질문

$y = 2x + 3$에서 $2$와 $3$이 뜻하는 것은?

Two numbers — slope and $y$-intercept — define every line.

A LITTLE INSIGHT

$y = 2x + 3$이라는 식의 $2$와 $3$ — 둘은 직선의 어떤 특성을 말해주는가?

$x$가 $1$ 증가하면 $y$는 얼마 증가할까요? $y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$, $y = 2 \cdot 2 + 3 = 7$ → $y$는 $2$ 증가. $x$가 $1$ 더 증가하면 $y$도 $2$ 증가. 항상 $y$의 증가량 / $x$의 증가량 = 2. 이것이 기울기입니다.

그렇다면 $3$은? $x = 0$일 때 $y = 3$. 그래프가 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $3$. 이것을 $y$절편이라 합니다.

즉 $y = ax + b$에서 $a$는 기울기, $b$는 $y$절편입니다. 단 두 숫자가 직선 하나를 완전히 결정하는 것이죠.

이 차시는 직선의 두 핵심 정보 — 기울기와 절편을 자세히 다룹니다. 일차함수 $y = ax + b$에서 $a, b$를 보면 직선의 모양을 즉시 알 수 있습니다.

CORE CONCEPTS · 핵심 개념

세 가지 개념

Slope, $y$-intercept, $x$-intercept.

기울기 · SLOPE

기울기 $a$

$a = \dfrac{y\text{의 증가량}}{x\text{의 증가량}}$

$x$가 $1$ 증가할 때 $y$가 얼마 증가하는지를 나타내는 변화율. $y = ax + b$에서 $x$의 계수가 곧 기울기.

$y$절편 · Y-INTERCEPT

$y$절편 $b$

$x = 0$일 때 $y$의 값

직선이 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표. $y = ax + b$에서 상수항 $b$가 곧 $y$절편.

$x$절편 · X-INTERCEPT

$x$절편

$y = 0$일 때 $x$의 값

직선이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표. $0 = ax + b$를 풀면 $x = -\dfrac{b}{a}$.

SLOPE MEANING · 기울기의 의미

기울기의 부호와 크기

The sign and magnitude of slope tell the whole story.

기울기 부호의 의미

$a > 0$: 오른쪽 위로 올라가는 직선 (증가함수)

$a < 0$: 오른쪽 아래로 내려가는 직선 (감소함수)

$|a|$ 클수록: 직선이 더 가팔라짐

두 점이 주어졌을 때 기울기를 계산하려면 — 두 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$를 지나는 직선의 기울기는 $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

EXAMPLE

두 점에서 기울기 구하기

두 점 $(1, 3), (3, 7)$을 지나는 직선의 기울기를 구하시오.

1

$y$의 증가량 = $7 - 3 = 4$.

2

$x$의 증가량 = $3 - 1 = 2$.

3

기울기 = $\dfrac{4}{2} = 2$.

▶ 답: 기울기 = $2$

QUICK CHECK · 빠른 확인

바로 확인하기

5 quick warm-ups.

QC-01 · 기울기

$y = 5x - 2$의 기울기는?

▼ 클릭하여 답 보기

$x$의 계수가 기울기. ▶ $\mathbf{5}$.

QC-02 · $y$절편

$y = -3x + 4$의 $y$절편은?

▼ 클릭하여 답 보기

상수항이 $y$절편. ▶ $\mathbf{4}$.

QC-03 · $x$절편

$y = 2x - 6$의 $x$절편은?

▼ 클릭하여 답 보기

$y = 0$ 대입: $0 = 2x - 6$ → $x = \mathbf{3}$.

QC-04 · 두 점 기울기

$(2, 1), (4, 7)$을 지나는 직선의 기울기는?

▼ 클릭하여 답 보기

$\dfrac{7-1}{4-2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}$.

QC-05 · 증가/감소

$y = -2x + 5$는 증가함수인가 감소함수인가?

▼ 클릭하여 답 보기

$a = -2 < 0$이므로 ▶ 감소함수.

PRACTICE · 연습 문제

스스로 풀어보기

8 problems graded by difficulty.

P-01

★ 기울기

$y = 3x - 5$의 기울기는? (답: 숫자만)

SOLUTION

$x$의 계수가 기울기. ▶ $3$.

P-02

★ $y$절편

$y = -2x + 7$의 $y$절편은? (답: 숫자만)

SOLUTION

상수항이 $y$절편. ▶ $7$.

P-03

★ $x$절편

$y = 4x + 8$의 $x$절편은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$0 = 4x + 8$ → $x = -2$.

P-04

★★ 두 점 기울기

두 점 $(1, 2), (3, 8)$을 지나는 직선의 기울기는? (답: 숫자만)

SOLUTION

$\dfrac{8-2}{3-1} = \dfrac{6}{2} = 3$.

P-05

★★ 두 점 → $y$절편

두 점 $(0, 4), (2, 0)$을 지나는 직선의 $y$절편은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$(0, 4)$가 $y$축 위의 점이므로 $y$절편 = $4$.

P-06

★★ $x$절편으로 $a$ 찾기

$y = ax + 6$의 $x$절편이 $-2$일 때, $a$의 값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$(-2, 0)$ 대입: $0 = -2a + 6$ → $a = 3$.

P-07

★★★ 점 통과 + $b$

$y = -2x + b$의 그래프가 점 $(3, -2)$를 지날 때, $b$의 값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$-2 = -2(3) + b$ → $-2 = -6 + b$ → $b = 4$.

P-08

★★★ 한 점 + 기울기

점 $(1, 3)$을 지나고 기울기가 $-2$인 일차함수의 $y$절편은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$y = -2x + b$. $(1, 3)$ 대입: $3 = -2 + b$ → $b = 5$.

LESSON 1.3 · WRAP-UP

한 줄로 정리하면

$y = ax + b$에서 $a$는 기울기, $b$는 $y$절편입니다. $a$의 부호로 직선의 방향(증가/감소), 크기로 가파른 정도를 판단합니다. $x$절편은 $y = 0$을 대입해 구합니다 ($-b/a$). 두 점이 주어졌을 때 기울기는 $y$ 증가량 ÷ $x$ 증가량으로 계산. 단 두 숫자가 직선 하나를 완전히 결정합니다.